Lineare Optimierung

Aufgabe 1:

Ein Unternehmen produziert zwei Sorten Hundefutter: Produkt I: "Fodo", Produkt II: " Bello ".

Pro Tag können von den beiden höchstens 10 Stück hergestellt werden. Dafür stehen 6 Arbeiter zur Verfügung, die insgesamt höchstens 24 Stunden am Tag arbeiten können. Zur Herstellung des Produkts I ( je für eine Packung) werden 4 Arbeitsstunden benötigt und zur Herstellung von Produkt II werden 2 Arbeitsstunden benötigt. Der Materialverbrauch in der Produktion kann aus Kapazitätsgründen höchstens 40 ME betragen, wobei zur Herstellung von Produkt I , für 1 Packung, 2 ME und für 1 Packung des Produktes 2 4 ME des benötigten Materials eingesetzt werden muss. Das Produkt 1 kann das Unternehmen zu einem Preis von 10 Euro/ Stück und das Produkt 2 zu einem Preis von 15 Euro/ Stück am Markt absetzen.

Der Preis einer Kollage des Typs 1 beträgt 5 Euro und der Preis einer Kollage des Typs 2 beträgt 3 Euro. Wie viele Kollagen von Typ 1 und 2 müssen gekauft werden, sodass der Gesamteinkaufspreis so gering wie möglichst ausfällt?

[Jasmin Singh, 11b, 2004]

Aufgabe 3:

Wir müssen ein Haus mit großen Räumen mit Heizkörpern ausstatten, wozu 2 verschiedene Heizkörpertypen zur Auswahl stehen: Heizkörper 1 gibt 1 kW ab, Heizkörper 2 gibt 2,5 kW ab. Es müssen jedoch insgesamt 14 kW abgegeben werden. Wir müssen Typ 2 mindestens 2 mal verbauen. Unser Kunde möchte ebenfalls, dass wir Typ 1 auch einbauen. Leider haben wir Typ 2 nur 4 mal, Typ 1

nur 9 mal auf Lager und können so kurzfristig nicht nachbestellen. Der Kunde möchte außerdem, dass wir nicht mehr als 4.400 € für alle Heizkörper brauchen.

(1) Geben Sie grafisch die Menge aller Heizkörpertypen-Kombinationen an.

(2) Ein kleiner Heizkörper kostet 250,- €, ein großer kostet 700,- €. Welche

      Kombination verursacht die geringsten Kosten?

[Ingolf Kaifer, 11b, 2004]

Aufgabe 4:

Für einen großen Kindergeburtstag sollen zwei verschiedene Sorten Süßigkeiten eingekauft werden. Eine Tüte der ersten Sorte wird zu einem Preis von 3 € angeboten und eine Tüte der zweiten Sorte kostet 4 €. Es dürfen aber nicht mehr als 30 € ausgegeben werden. Von der ersten Sorte soll doppelt soviel wie von der zweiten Sorte eingekauft werden. Von der zweiten Sorte sollen aber mindestens 4 Tüten eingekauft werden. Obwohl nicht mehr viel Platz im Einkaufswagen ist können mindestens 38,5 Tüten Süßigkeiten eingekauft werden, wobei die erste Sorte das Dreifache an Platz benötigt. Welche Kombination der beiden Sorten verursacht die geringsten Kosten ?

Aufgabe 5:

Ein Unternehmen stellt zwei Sorten von Christbaumkugeln her. Zur Herstellung der zweiten Sorte werden 2 g. Glas mehr verbraucht als zur Herstellung der ersten Sorte und insgesamt werden höchstens 12 g. Glas benötigt. Die erste Sorte kostet 5 € und die zweite Sorte 8 €. Es werden 7 Arbeitsstunden zur Herstellung  der ersten Sorte benötigt und für die zweite Sorte vier Arbeitsstunde weniger, an einem Arbeitstag dürfen höchstens 17 Stunden gearbeitet werden. An einem Arbeitstag werden insgesamt höchstens 16 Christbaumkugeln hergestellt, wovon höchstens 13 zu der zweiten Sorte gehören. Welche Produktionsmöglichkeit der beiden Produkte bringt den höchsten Umsatz ?

[Hanne Timm, 11b, 2004]

Aufgabe 6:

Das Unternehmen „Lowrider“ stellt Hydraulikpumpen (HP) für Automobile her. „Lowrider“ baut 2 verschiedene Typen der HP (Stufe1 und Stufe2). Die Kosten für die Produktion von Stufe1 belaufen sich auf 1.000 €/St. und bei Stufe2 auf 3.000 €/St.. Am Tag darf nicht mehr als 30.000 € für die Produktion ausgegeben werden.

Die Herstellung dauert bei Stufe1 20Std./Tag und bei Stufe2 60 Std./Tag. Es stehen maximal 510 Std. für die Herstellung zur Verfügung. Von Stufe1 sollen maximal 6 Stück am Tag hergestellt werden; von Stufe2 mindestens 4 Stück. Verkauft wird Stufe1 für 2.000 €/St. und Stufe2 für 6.000 €/St.

Der Umsatz soll maximiert werden!

Aufgabe 7:

Ein Familienbetrieb stellt zwei Anzüge aus verschiedenen Stoffen her. Die Produktionskosten belaufen sich bei Anzug 1 auf 5.000 €/St. Und bei Anzug 2 auf 3.000 €/St..

Pro Tag steht höchstens 30.000 € für die Produktion zur Verfügung. Die Herstellung für

Anzug1 dauert 30 Std. und für Anzug2 60 Std. Maximal stehen 480 Std. für die Herstellung am Tag zur Verfügung. Von Anzug1 sollen höchstens 3 Stück angefertigt werden. Aus Erfahrung weiß man, dass sich von Anzug2 mindestens 4 Stück am Tag verkaufen lassen.

Verkauft wird Anzug1 für 10.000 €/St. Und Anzug2 für 5.000 €/St..

Der Umsatz soll maximiert werden!

[Gerrit Jochims, 11b, 2004]

Aufgabe 8:

Ein Unternehmen produziert zwei verschiedene Personenkraftwagen (PkW). Einer der PkWs ist ein Kleinwagen, der andere PkW ist ein Kombi. Das Unternehmen kann höchstens 10 PkWs täglich herstellen. Ein Kleinwagen wird auf einem Laufband produziert und ein Kombi wird auf zwei Laufbändern hergestellt. Dem Unternehmen stehen höchstens 14 Laufbänder zu Verfügung. Wegen dem so genannten Lagerparkplatz können nicht mehr als 6 der Kleinwagen und nicht mehr als 7 der Kombiwagen produziert werden. Der Preis des Kleinwagen beträgt 8.000 € und der des Kombis beträgt 10.000 €.

Welche Mengenkombination der zwei Pkws muss das Unternehmen verkaufen um den maximalen Umsatz erzielen zu können?

Aufgabe 9:

Eine Tischlerei produziert u. A. große und kleine Schränke. Die Herstellung eines kleinen Schranks verursacht Kosten in Höhe von 800 € und die Produktion eines großen Schranks verursacht Kosten in Höhe von 1000 €. Für die Herstellung der Schränke werden jeweils für einen kleinen Schrank mindestens zwei Arbeitsstunden und für einen großen Schrank mindestens drei Arbeitsstunden benötigt. Die Tischlerei arbeitet 8 Stunden täglich.

Diese Tischlerei erhält einen Auftrag:

Es sollen mindestens 14 Schränke geliefert werden. Aber es dürfen nicht mehr als 7 kleine Schränke und nicht mehr als  11 große Schränke zugestellt werden.

Für die Erfüllung des Auftrags muss die Tischlerei mindestens 3 Arbeitstage einrechnen. Welche Kombination der zwei Schränke muss die Tischlerei herstellen um den Auftrag erfüllen zu können und die Kosten so gering wie möglich zu halten?

[Irina Hensler, 11b, 2004]

Aufgabe 10:

Ein Unternehmen stellt 2 Sorten von Fahrrädern her. Es können höchstens 35 Fahrräder beider Sorten pro Tag hergestellt werden. Es werden mindestens 10 Fahrräder pro Tag hergestellt. Sorte 1 braucht 4 Stunden zur Herstellung und Sorte 2 braucht 2 Stunden zur Herstellung eines Stückes. Das Unternehmen hat 10 Mitarbeiter für diese Arbeit eingestellt, die höchstens insgesamt 112 Stunden pro Tag arbeiten. Sorte 1 der Fahrräder nimmt 2qm des Lagers in Anspruch und Sorte 2 benötigt 4qm Platz für ein Fahrrad. Insgesamt ist das Lager 120qm groß. Sorte 1 kostet 100 EUR/Stk. Und Sorte 2 kostet 80 EUR/Stk. .

Welche Produktionsmöglichkeiten der beiden Produkte gibt es, damit der Gewinn maximiert wird?

Aufgabe 11:

Ein Unternehmen stellt kostbare Teppiche her. Einmal große Teppiche und kleine Teppiche. Für die Herstellung eines großen Teppichs brauchen die Mitarbeiter 10 Stunden und für die Herstellung eines kleinen Teppichs werden 5 Stunden benötigt. Es wird aber nur insgesamt 20 Stunden gearbeitet. Da nur ein kleines Lager vorhanden ist und die Nachfrage nicht sonderlich groß ist, werden insgesamt 3 Teppiche beider Sorten pro Tag hergestellt. Die großen Teppiche bringen 2000 EUR/Stk. ein und die kleinen bringen 750 EUR/Stk. ein

[Sarah Schöbel, 11b, 2004]

Aufgabe 12:

Ein Landwirt besitzt 100 Morgen Land und hat 200 Arbeitstage im Jahr zur Verfügung, um dieses Land zu bewirtschaften. Er entscheidet sich für den Anbau von Weizen und Gemüse, die pro Morgen einen Arbeitsaufwand von 1 Tag bzw. 4 Tagen verlangen. Für die Bebauung kann er höchstens 12.000 EUR Kapital aufwenden. Der Kapitalaufwand pro Morgen Weizen beträgt 100 EUR, der für Gemüse 200 EUR.

Der Landwirt möchte maximalen Gewinn erzielen, wobei er pro Morgen Weizen mit einem Gewinn von 40 EUR und bei einem Morgen Gemüse mit einem Gewinn von 120 EUR rechnet (Gewinn = Erlös - Unkosten)

Aufgabe 13:

Ein Kaffeehändler will 2 Sorten Kaffee einkaufen, eine teuere Sorte A und eine billigere Sorte B. Von der Sorte A kann er höchstens 120 kg, von der Sorte B höchstens 180 kg bekommen. Aus diesen beiden Sorten stellt er 2 Mischungen her: Die erste Mischung soll 20% der Sorte A und 80% der Sorte B, die zweite Mischung soll 60% der Sorte A und 40% der Sorte B enthalten. Der Verkaufspreis der ersten Mischung beträgt 12 EUR, der zweiten Mischung 16 EUR je Kilogramm. Welche Menge muss der Händler von jeder Mischung herstellen, damit er einen möglichst hohen Erlös erreicht?

Aufgabe 14:

Ein Gärtner läßt den Boden auf die notwendigen Düngemittel untersuchen. Die Bodenproben ergeben, dass 12 dz Kalidünger, 12 dz Phosphordünger, 15 dz Stickstoffdünger erforderlich sind. Zur Verfügung stehen 2 Volldünger, die die Bestandteile in folgenden Mengen enthalten:

1 Ladung Volldünger I enthält 4 dz Kali, 3 dz Phosphor, 3 dz Stickstoff. 1 Ladung Volldünger II enthält 2 dz Kali, 3 dz Phosphor, 6 dz Stickstoff. Der Preis von Volldünger I beträgt 120 EUR/Ladung, von Volldünger II 80 EUR/Ladung. Welche Mengen muss der Gärtner von jedem Dünger kaufen, damit dem Boden die notwendigen Bestandteile zugeführt werden und die Gesamtkosten minimal sind?

Aufgabe 15:

Ein landwirtschaftlicher Weidebetrieb hat sich auf die Haltung von Kühen und Jungvieh spezialisiert. In den Ställen des Betriebes können höchstens 70 Kühe und 500 Stück Jungvieh gehalten werden. Für die Ernährung einer Kuh sind 0,25 ha, für ein Stück Jungvieh 0,10 ha Weideland nötig. Insgesamt hat der Betrieb 50 ha Weideland. Für die Pflege der Kühe und des Jungviehes stehen 3 Arbeiter zur Verfügung, die insgesamt 8.000 Arbeitsstunden im Jahr leisten. Für eine Kuh sind 100 Arbeitsstunden, für ein Stück Jungvieh 10 Arbeitsstunden je Jahr notwendig. Der Gewinn bei einer Kuh beträgt 400 EUR, bei einem Stück Jungvieh 50 EUR im Jahr.

Wie viele Kühe und wie viel Stück Jungvieh muss der Betrieb halten, damit der Gesamtgewinn möglichst groß wird?

Aufgabe 16:

Ein Gemüsebauer hat insgesamt 30 Morgen Land zum Anbau von Erbsen und Stangenbohnen zur Verfügung. Für einen Morgen Erbsen muss der Betrieb im Durchschnitt einen Arbeitstag, für einen Morgen Stangenbohnen zwei Arbeitstage aufwenden. Insgesamt kann mit 50 Arbeitstagen gerechnet werden. Die Ausgaben für Saatgut betragen für einen Morgen Erbsen 200 EUR, für einen Morgen Stangenbohnen 100 EUR. Der Bauer kann höchstens 5000 EUR für das Saatgut ausgeben. Wie viel Morgen Erbsen und Stangenbohnen muss der Bauer anbauen, damit sein Gewinn möglichst groß ist, wobei der Gewinn bei einem Morgen Erbsen 200, bei einem Morgen Stangenbohnen 300 EUR beträgt?

Aufgabe 17:

Eine Baugesellschaft hat ein Grundstück von 12.000 m² erworben. Darauf sollen 2- und 3stöckige Häuser gebaut werden, die 2stöckigen mit Garten, die 3stöckigen ohne Garten. Die 2stöckigen Häuser sind für je 15 Personen, die 3stöckigen für je 21 Personen bestimmt. Die Kosten betragen bei einem zweistöckigen Haus 200.000 EUR, bei einem dreistöckigen Haus 300.000 EUR. Insgesamt hat die Gesellschaft ein Kapital von 6.000.000 EUR für den Bau der Häuser zur Verfügung. Für ein zweistöckiges Haus wird eine Grundstücksfläche von 600 m², für ein dreistöckiges von 400 m² benötigt. Die Anzahl der Arbeitsstunden zum Bau eines zweistöckigen Hauses beträgt 6.000, bei einem dreistöckigen 12.000. Es können höchstens 228.000 Stunden aufgebracht werden. Nach dem Bebauungsplan dürfen nicht mehr als 16 zweistöckige Häuser gebaut werden. Wie ist das Grundstück zu bebauen, damit möglichst viele Menschen auf ihm wohnen können?

Aufgabe 18:

Ein Schneider hat 50 m² Wollstoff und 37,5 m² Seidenfutter zur Verfügung. Er fertigt daraus Anzüge und Kleider für ein Konfektionsgeschäft an. Für einen Anzug benötigt er 3 m² Stoff und 1,75 m² Futter, für ein Kleid 2,5 m² Stoff und 2,5 m² Futter. Er will höchstens 13 Anzüge und 10 Kleider herstellen. Sein Gewinn beträgt bei einem Anzug 40 EUR, bei einem Kleid 50 EUR. Wie viele Anzüge und Kleider muss der Schneider anfertigen, damit er einen möglichst hohen Gewinn erreicht?

Aufgabe 19:

Ein Elektrohändler verkauft 2 Typen von Kühlschränken, Typ A und Typ B. Er hat sich gegenüber dem Werk verpflichtet, monatlich mindestens 5 Geräte vom Typ A und 8 Geräte vom Typ B zu beziehen. Aufgrund seiner Erfahrungen kann er im Monat bis zu 30 Geräte von jedem Typ absetzen. Das Werk kann ihm jedoch für diese Zeit höchstens 50 Geräte liefern. 

a) Wie wird der Händler zweckmäßig sein Lager bestücken, wenn der Stückgewinn bei Typ A 100 EUR, bei Typ B 150 EUR beträgt?

b) Wie ändern sich die Mengen, wenn der Stückgewinn bei Typ A 150 EUR, bei Typ B 100 EUR beträgt?

[Sabrina Schäfer, 11b, 2004]

Aufgabe 20:

Für eine Party werden Getränke benötigt, die in Getränkekartons verpackt werden. Karton I und Karton II (s. Abb.),

                      Karton I                                                                  Karton II

Für die Party werden höchstens vom Bier A 20 Flaschen, Bier B 28 Flaschen und Bier C 48 Flaschen benötigt. Außerdem werden noch mindestens 6 Flaschen von dem D Whisky benötigt. Der Karton I kostet 50 € und der Karton II kostet 60 € ; aus Transportgründen muss ein Karton vom Typ I mit. Die Kosten für die Kartons sollen so gering wie möglich gehalten werden.

[Matthias Klinger, 11a, 2004]